第八章 二阶电路
一、教学目标
1. 理解二阶电路的基本概念及其与一阶电路的区别。
2. 掌握RLC串联与并联二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的分析方法。
3. 熟练运用经典时域分析法（建立微分方程、求解特征根、确定响应形式）求解二阶动态电路。
4. 深刻理解二阶电路响应的三种状态：过阻尼、临界阻尼和欠阻尼，并能根据电路参数进行判别。
5. 了解二阶电路的阶跃响应和冲激响应。
二、教学重点与难点
* 重点：
1. RLC串联二阶电路微分方程的建立与求解。
- 特征方程与特征根，以及特征根与电路响应状态（过阻尼、临界阻尼、欠阻尼）的对应关系。
- 根据初始条件确定积分常数。
- 难点：
- 欠阻尼状态下响应表达式的物理意义及其振荡特性分析。
- 电路参数（R, L, C）对响应状态的决定性影响。
- 冲激响应的概念与求解方法。
三、教学内容与教学设计
8.1 二阶电路概述
内容：定义二阶电路（需用二阶微分方程描述的动态电路），典型示例：RLC串联电路、RLC并联电路。回顾储能元件初始值（uC(0+), iL(0+)）的确定方法。
设计：通过与一阶RC/RL电路的对比，引入二阶电路的概念，强调其动态特性的复杂性（可能出现振荡）。
8.2 RLC串联电路的零输入响应
* 内容：
1. 建立方程：以电容电压uC(t)为变量，建立二阶齐次微分方程：LC d²uC/dt² + RC duC/dt + uC = 0。
- 求解特征根：特征方程 LC s² + RC s + 1 = 0，根为 s1,2 = -R/(2L) ± √((R/(2L))² - 1/(LC))。
- 响应状态分析（核心）：
- 过阻尼（非振荡放电）：当 R > 2√(L/C) 时，s1, s2为两个不等负实根，响应形式：uC(t) = A1e^(s1t) + A2e^(s2t)。
- 临界阻尼：当 R = 2√(L/C) 时，s1 = s2 = -R/(2L)为重根，响应形式：uC(t) = (A1 + A2t)e^(-αt)，其中α = R/(2L)。
- 欠阻尼（振荡放电）：当 R < 2√(L/C) 时，s1,2 = -α ± jωd为一对共轭复根（α = R/(2L)为衰减系数，ωd = √(1/(LC) - (R/(2L))²)为阻尼振荡角频率）。响应形式：uC(t) = Ke^(-αt) cos(ωd t + θ)。
- 确定常数：利用初始条件 uC(0+) 和 duC/dt|t=0+ = iL(0+)/C 求解积分常数A1, A2或K, θ。
- 设计：以过阻尼为重点讲解求解全过程，引导学生推导临界阻尼和欠阻尼情况。利用MATLAB/仿真软件演示不同阻尼状态下uC(t)和iL(t)的波形，加深理解。
8.3 RLC串联电路的零状态响应与全响应
* 内容：
1. 零状态响应：在直流或正弦电源激励下，电路初始储能为零的响应。求解方法：非齐次微分方程的通解（强制分量/特解）+齐次通解（自由分量）。特解通常为常数（直流激励）或正弦量（正弦激励）。
- 全响应：初始储能与外部激励共同作用下的响应。可分解为零输入响应与零状态响应之和，或分解为强制分量与自由分量之和。
- 设计：举例说明直流电压源激励下RLC串联电路的零状态响应求解步骤。强调全响应的两种分解方式及其物理意义。
8.4 RLC并联电路的响应
内容：与串联电路对偶。以电感电流iL(t)为变量，建立方程：LC d²iL/dt² + (L/R) diL/dt + iL = 0（考虑电导G=1/R）。特征根形式及过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的判据与串联电路对偶。
设计：引导学生通过与串联电路的类比，自行推导并联电路的分析公式，培养知识迁移能力。
8.5 二阶电路的阶跃响应与冲激响应
* 内容：
1. 阶跃响应：单位阶跃激励下的零状态响应。求解方法同8.3节。
- 冲激响应：单位冲激激励下的零状态响应。重点讲解两种求解方法：
- 将冲激激励转化为初始条件（冲激源在t=0瞬间建立初始储能），然后按零输入响应求解。
- 先求阶跃响应s(t)，再求导得冲激响应h(t)=ds(t)/dt。
- 设计：通过物理概念解释冲激响应是电路固有特性的体现。举例演示利用“冲激建立初始值”法求解RLC串联电路的冲激响应。
四、本章小结
1. 二阶电路的分析关键在于正确建立微分方程并求解特征根。
2. 电路响应特性完全由特征根决定，而特征根又取决于电路参数R、L、C。电阻R是消耗能量、抑制振荡的关键因素。
3. 欠阻尼响应中的衰减振荡现象在工程中具有重要意义（如滤波、谐振）。
4. 所有响应均由初始条件和电路固有特性共同决定。
五、课后作业与思考题
1. 基础题：给定RLC串联电路参数和初始值，计算特征根，判断响应状态，并写出电容电压响应表达式。
2. 分析题：如何调整RLC串联电路中的电阻值，使其响应从过阻尼变为欠阻尼？临界电阻值是多少？
3. 应用题：一个简单的振荡器模型可以用欠阻尼RLC电路近似，若希望振荡频率为f0，应如何选择L和C？衰减速度由哪个参数控制？
4. 仿真题：使用Multisim或PSpice搭建RLC串联电路，改变电阻值，观测并记录过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种状态下电容电压的波形。
六、教学资源关联
本教案配套PPT课件包含所有公式推导、波形图解与例题演示。
实验指导书对应章节提供RLC电路暂态过程实验。
* 网络课程平台提供本章知识点讲解视频、典型例题解析视频及在线自测题。
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（本电子教案为打印优化版，内容精炼，重点突出，适用于西安石油大学电子工程学院网络工程及相关专业《电路分析基础》课程教学与学生复习。）
